Кардиналистское голосование: Путь преодоления парадоксов социального выбора

Современная теория социального выбора основывается на так называемой ординалистской теории, отправным положением которой является определение предпочтений как бинарных отношений вида «лучше - хуже». Кардиналистский подход основывается на количественной оценке общей ценности благ и измеримости предпочтений. Кардиналистский подход критикуется на том основании, что измеримость индивидуальных полезностей для сравнения благосостояния не имеет никакого смысла (Эрроу, 1963).

Отсутствие обоснованной аргументации в ответ на подобную критику не способствовало развитию кардиналистской теории общественного выбора. Более того, ординалистская теория, развитая в трудах Кондорсе (1785), Эрроу (1951, 1963), Гиббарда (1973), Саттерсвайта (1975) и многих других, претендует на универсальность и всеобщность своих основных выводов. Основным и наиболее обескураживающим выводом ординалистской теории является вывод о невозможности идеальной системы голосований, или другими словами, демократия не является идеальной системой. В 1951 году К. Дж. Эрроу доказал теорему, известную как теорема невозможности Эрроу (формально «Общая теорема возможности»). «Смысл этой теоремы состоит в том, что не существует метода агрегирования индивидуальных предпочтений для трех и более альтернатив, который удовлетворял бы некоторым вполне справедливым условиям и всегда давал бы логически непротиворечивый результат. Предложенные Эрроу условия подверглись тщательной проверке. Однако, никому не удалось доказать неправомочность условий Эрроу и ошибочность его выводов. Таким образом, основным выводом теоремы Эрроу является то, что во многих случаях невозможно корректно определить коллективное мнение людей». (Из диссертации Л. Кранор, опубликованной в Интернете). Набор условий Эрроу включает: Парето-оптимальность (если все предпочитают одну альтернативу другой, то таким же должно быть и общественное предпочтение), отсутствие диктатора (не существует индивидуума, предпочтение которого определяло бы общественное предпочтение независимо от предпочтений других индивидуумов), независимость от посторонних альтернатив (на любом множестве альтернатив общественный выбор относительно двух произвольных альтернатив должен зависеть только от индивидуальных предпочтений относительно этих двух альтернатив), и универсальности (общественные предпочтения должны быть полным, транзитивным упорядочением и должны быть определены для любого набора индивидуальных предпочтений). (А. Сен, 1999).

Гиббард (1973) и Саттерсвайт (1975) независимо доказали теорему, что для трех и более альтернатив всякое Парето-оптимальное, неманипулируемое (защищенное от стратегий) правило общественного выбора является диктаторским. Правило агрегирования считается манипулируемым, если голосующий, поведение которого рассматривается рациональным, может показать не истинные, а ложные предпочтения для более предпочтительного для себя исхода.

Отметим, что теорема Эрроу касается правил агрегирования предпочтений, а в теореме Гиббарда-Саттерсвайта рассматриваются правила выбора. Тогда как правило агрегирования каждому профилю индивидуальных предпочтений приписывает общественное упорядочение альтернатив, правило выбора определяет одну альтернативу из заданного множества. Тем не менее, Саттерсвайт (1975) показал, что «существует однозначное соответствие между защищенной от стратегий процедурой и функцией общественного благосостояния, удовлетворяющей условиям Эрроу».

В литературе часто встречается критерий Кондорсе, который также используется для оценки правил агрегирования предпочтений. Согласно этому критерию, если альтернатива А предпочтительна по сравнению с В для большинства избирателей, она должна быть предпочтительна и для общества. Однако, как было показано (например, Эрроу (1963)), этот критерий приводит к парадоксу зацикливания, и он не может рассматриваться в качестве универсального, в отличие от условий и выводов теорем Эрроу и Гиббарда-Саттерсвайта.

Пессимизм выводов ординалистской теории стимулировал поиски положительных решений. Предпринимались неудачные, как указывалось выше, попытки отказаться от одного или нескольких условий Эрроу. Также предпринимались попытки найти решение на кардиналистской основе.

Используя кардиналистский подход Смит (2004) и Хиллингер (2004) предложили свои правила агрегирования, соответственно, range voting и evaluative voting. В голосовании Смита избиратель может выставить альтернативе любую оценку по непрерывной шкале в пределах [-1, +1]. Социальное ранжирование альтернатив определяется сравнением сумм индивидуальных оценок. Хиллингер, утверждая, что непрерывная шкала неприменима на практике, предложил дискретную шкалу. Из практических соображений он предложил трехзначную шкалу [-1, 0, +1] для выборов с большим числом избирателей, и пятизначную шкалу [-2, -1, 0, +1, +2] для выборов в малочисленных экспертных комиссиях.

И Смит и Хиллингер утверждают, что их правила удовлетворяют всем условиям Эрроу и в то же время они не отрицают, что эти правила не являются защищенными от стратегий.

Еще одно кардиналистское голосование, известное как «approval voting» (подробнее у Брамса и Фишбурна (1983)), представляет собой процедуру, в которой можно голосовать за любое количество альтернатив. Не трудно видеть, что это голосование является частным случаем правил Смита или Хиллингера с двухзначной дискретной шкалой [0, 1]. «Approval voting» известно уже более 30 лет, и в отличие от правил Смита или Хиллингера собрало многочисленную, но противоречивую критику. Так Брамс и Фишбурн (1983) считают, что «approval voting» является наименее манипулируемым, тогда как Сари (1990) и Ниеми (1984) находят его наиболее манипулируемым. Табаррок (2001) доказывает, что «approval voting» внутренне противоречиво (inconsistent), тогда как Кранор (1996) приходит к другому выводу. Согласно де Стюарту и др. (2000) «approval voting» не удовлетворяет Парето-оптимальности, а Кранор (1996) показывает обратное.

Не трудно доказать, что все три рассмотренных кардиналистских голосования не удовлетворяют условию независимости от посторонних альтернатив, с ординалистской точки зрения. Пусть даны три альтернативы a, b, c и три индивидуума V1, V2, V3. Рассмотрим теперь два возможных профиля индивидуальных предпочтений, в которых сохраняются ординалистские предпочтения относительно, например, a и b , а изменяются предпочтения относительно c . Пусть на первом профиле для V1 a не хуже b , а b не хуже c , или в формальном виде a ≥ b ≥ c , для V2 также a ≥ b ≥ c , а для V3 c ≥ b ≥ a⁽¹⁾. Во втором профиле рассмотрим предпочтения V3 - b ≥ c ≥ a . Таким образом, предпочтения всех голосующих и в первом и во втором профиле относительно a и b одинаковы.

Для «approval voting» первый профиль можно представить в виде

с исходом b > a. Отметим, что предпочтения V2 с ординалистской точки зрения не изменились. И (1, 0, 0) и (1, 1, 0) соответствуют a ≥ b ≥ c.

Для правил Смита и Хиллингера первый профиль можно представить в виде

с исходом b > a. Опять отметим, что предпочтения V2 с ординалистской точки зрения не изменились. И (1, 0, -1) и (1, 1, -1) соответствуют a ≥ b ≥ c.

Можно видеть, что в обоих случаях для доказательства зависимости рассмотренных правил от посторонних альтернатив пришлось изменить численные значения индивидуальных предпочтений. Без этого изменения доказательство не работает. По-видимому, именно в этом ключевое отличие ординалистского и кардиналистского подходов. Как уже говорилось, с ординалистской точки зрения измеримость индивидуальных предпочтений не имеет смысла. Кроме того, утверждается, что для теории социального выбора не требуется кардиналистский подход, и ординалистское описание достаточно для того, чтобы сформулировать основные теоремы социального выбора (Альберт и Ханел (1991)). Для доказательства обратного требуются убедительные аргументы.

В данной статье приводятся эти аргументы. Утверждается, что ординалистская теория не является достаточной для всех возможных случаев. Доказывается, что существуют и давно используются на практике системы голосования, которые не могут быть описаны в рамках ординалистской теории социального выбора, и для их описания требуется кардиналистский подход.

Речь идет о судействе спортивных состязаний, таких как гимнастика, фигурное катание, прыжки в воду и т.п. В отсутствие объективных критериев, для ранжирования спортсменов применяется коллективное решение судей. Напомним, что судьи оценивают спортсменов по численной шкале. Затем оценки судей суммируются, и по результатам суммирования спортсмены ранжируются.

Рассмотрим аналог судейства со шкалой от 0 до 1 с дискретностью 0,1. Пусть даны три альтернативы (спортсмена) a, b, c и три судьи R1, R2, R3. В таблице 5 представлены шесть возможных профилей индивидуальных предпочтений (оценок судей).

Понятно, что невозможно найти однозначную функцию, которая давала бы шесть различных результатов для одного единственного профиля. Т.о. ординалистское описание судейства не выполняет условие универсальности, тогда как при кардиналистском описании судейского ранжирования такой проблемы не возникает.

Приведенный пример показывает, что ординалистская теория социального выбора не достаточна для описания всех возможных и существующих правил агрегирования предпочтений, и кардиналистский подход необходим для описания, по крайней мере, некоторых из них. Однако в настоящее время в основных теоремах и аксиомах теории социального выбора используется ординалистский формальный аппарат. Поэтому для применения кардиналистского подхода к описанию судейских ранжирований требуется введение нового формального аппарата.

Пусть имеется множество альтернатив А и множество голосующих индивидуумов N. Для того чтобы учесть степени предпочтений, определим кардиналистские предпочтения следующим образом. Если индивидуум i из N альтернативу a предпочитает альтернативе b (a, b из A), запишем это в виде f_i(a,b) = c_i(a) - c_i(b), где c_i(a) и c_i(b) - оценки, выставляемые судьей i альтернативам a и b, соответственно. Тогда значение предпочтений может быть только f_i(a,b) ≥ 0. Случай f_i(a,b) > 0 соответствует ординалистскому строгому предпочтению «a лучше b», а f_i(a,b) = 0 - безразличию в ординалистском описании. Так как значение f_i(a,b) либо равно нулю, либо больше нуля, понятие слабых предпочтений не требуется в кардиналистском подходе.

Будем считать, что кардиналистские индивидуальные предпочтения отвечают условию транзитивности, если для любых a, b, c из A и i из N из f_i(a,b) и f_i(b,c) следует f_i(a,c).

Будем считать, что кардиналистские индивидуальные предпочтения отвечают условию полноты, если для любых a, b, c из A и i из N существуют либо f_i(a,b) , либо f_i(b,a) .

Множество всех полных транзитивных предпочтений всех индивидуумов назовем профилем предпочтений.

Правило агрегирования есть функция F, которая устанавливает однозначное соответствие между профилем предпочтений p и коллективными предпочтениями на А. Обозначим F(a,b) не строгое общественное предпочтение относительно альтернатив a и b, т.е. для общества a не хуже b, и F^s(a,b) строгое предпочтение, т.е. для общества a лучше b⁽²⁾.

Функция F отвечает условию Парето-оптимальности, если для любой пары a, b из A из f_i(a,b) > 0 для всех i из N следует F^s(a,b).

Функция F отвечает условию независимости от посторонних альтернатив (НПА), если для любой пары a, b из A для всех i из N и для любой пары профилей p и p^* из f_i(a,b) = f_i^*(a,b) следует F(a,b) ↔ F^*(a,b), или из fi(b,a) = fi^*(b,a) следует F(b,a) ↔ F^*(b,a).

Функция F считается диктаторской, если существует такой индивидуум i, что для любых a, b из A из f_i(a,b) > 0 следует F^s(a,b) независимо от предпочтений других индивидуумов из N.

Можно видеть, что учет измеримости предпочтений существенно сказался только на независимости от посторонних альтернатив. В то время как ординалистские предпочтения имеют единственную размерность - направление («лучше - хуже»), кардиналистские предпочтения определяются как направлением, так и величиной. Поэтому тогда как в формулировке Эрроу НПА требует сохранения только направления предпочтений, кардиналистское условие НПА требует неизменности также и величины предпочтений

Рассмотрим теперь судейское голосование, представленное в таблице 5, на соответствие приведенным условиям. Если все индивидуальные предпочтения определены, то они полны. Являясь действительными числами, они также транзитивны. Коллективные предпочтения определяются суммированием индивидуальных предпочтений. Если последние полны, то сумма существует и коллективные предпочтения также полны. Также, являясь действительными числами, они транзитивны. Т.о. условие универсальности выполняется.

Парето-оптимальность. f_i(a,b)>0 ↔ c_i(a)=c_i(b)+ Δ_i, где Δ_i<0 для любого i. Тогда ∑c_i(a) = ∑c_i(b) + ∑Δ_i > ∑c_i(b) → F^s(a,b).

Независимость от посторонних альтернатив. Рассмотрим профили p и p^* такие, что f_i(a,b) = f_i^*(a,b) для всех i. По условию c_i(a) - c_i(b) = c_i^*(a) - c_i^*(b). Так как коллективное предпочтение определяется суммированием индивидуальных предпочтений, то ∑ci(a) - ∑ci(b) = ∑(ci(a) - ci(b)). Тогда ∑(c_i(a) - c_i(b)) = ∑( c_i^*(a) - c_i^*(b)) = ∑c_i^*(a) - ∑c_i^*(b), или ∑c_i(a) - ∑c_i(b) = ∑c_i^*(a) - ∑c_i^*(b) и F(a,b) ↔ F^*(a,b).

Отсутствие диктатора. Пусть на некотором профиле p альтернатива a предпочтительнее b для общества, т.е. F^s(a,b). Пусть есть индивидуум n, который является диктатором. Это означает, что n может изменить коллективные предпочтения на F^s*(b,a), изменив свои предпочтения относительно a и b. Максимальное изменение предпочтений любого индивидуума, в том числе и n, в пользу b в рассматриваемом голосовании достигается при c_n^*(a)=0 и c_n^*(b)=1. По условию предпочтения других индивидуумов не влияют на коллективный выбор и могут быть любыми. Это позволяет рассмотреть измененный профиль p^* такой, что c_i^*(b)=0 для всех i, отличных от n, и по крайней мере один индивидуум из их числа выставит c_i^*(a)=1. Тогда ∑c_i^*(a) ≥ 1 и ∑c_i^*(b) = 1 ↔ F^*(a,b), что противоречит F^s*(b,a) и n не является диктатором. Так как a, b и n произвольные, доказательство справедливо для всех возможных альтернатив и для всех индивидуумов, и голосование не является диктаторским.

Таким образом, кардиналистское голосование подобное судейству может отвечать условиям универсальности, Парето-оптимальности, НПА, не являясь при этом диктаторским, что указывает на неуниверсальность вывода теоремы невозможности Эрроу. Сен (1999) утверждает, что даже слабые формы межперсональной сравнимости полезностей позволяют получать непротиворечивое коллективное решение, удовлетворяющее всем условиям Эрроу. Приведенное в данной статье доказательство, по-видимому, может служить еще одним подтверждением этому тезису.

Манипулируемость

Почему так важно, чтобы голосование было защищено от манипулирования? Смысл голосования состоит в том, чтобы, определив профиль индивидуальных предпочтений p, построить по нему с помощью заданной функции F коллективное упорядочение имеющихся альтернатив, p ↔ F(p). При этом функция F не должна зависеть ни отчего другого, как от профиля p. Когда индивидуум манипулирует, т.е. показывает не истинные, а ложные предпочтения, то весь профиль изменяется, p ↔ p^*, причем p^* ≠ p. Как результат p^* ↔ F(p^*). По определению функции F(p^*) ≡ F(p) тогда и только тогда, когда F ≡ const. Т.е., если голосование манипулируемое, становится невозможным узнать ни истинный профиль p, ни соответствующее ему коллективное упорядочение, и само голосование теряет свой смысл.

Следуя Саттерсвайту (1965), манипулируемость есть следствие нарушение одного или нескольких условий Эрроу. Так как рассмотренное кардиналистское голосование удовлетворяет всем требованиям, оно, казалось бы, не должно быть манипулируемым, но очевидно это не так.

Перед тем как показать, что и такое голосование может быть манипулиремым, попробуем ответ на два вопроса: почему и как индивидуум голосует?

Почему? Голосование включает в себя собственно процесс голосования и результаты выборов. Конечно, индивидуум может быть заинтересован как в одном, так и в другом, и даже в том и другом одновременно. Например, индивидуум может получать удовольствие от процесса голосования как от игрового процесса. Настоящее исследование, однако, как и у Эрроу (1963), ограничивается только формальными аспектами коллективного выбора, поэтому игровые аспекты далее не рассматриваются. Таким образом, рассматривается единственная цель индивидуума голосовать - результат голосования, т.е. коллективное ранжирование имеющихся альтернатив. Эта цель также имеет два аспекта.

Во-первых, индивидуум имеет свое собственное представление, видение или желание касательно ранжирования альтернатив, общепринятое понятие чего есть предпочтение. Т.е. индивидуум голосует, потому что хочет реализовать свои предпочтения.

Во-вторых, индивидуум заинтересован в голосовании, когда он не может реализовать свои предпочтения каким-нибудь другим способом. Отметим, что этот аспект не противоречит первому. Более того, индивидуум заинтересован в голосовании постольку, поскольку оно способствует реализации его предпочтений. Т.е. оба аспекта отражают единственную цель индивидуума:

Условие 1 (С1). Единственная цель индивидуума участвовать в голосовании - реализация его предпочтений.

Как голосуют?

Участвуя в голосовании, индивидуум совершает некоторые действия. А любые действия индивидуум совершает, рассчитывая получить максимум полезности для себя, как бы он ее (полезность) себе не представлял. Таким образом задается определение рационального индивидуума:

Определение 1 (D1). Рациональный индивидуум совершает только такие действия, ожидаемые результаты которых максимизируют полезность для индивидуума.

Следствием D1 является утверждение (CD1), что рациональный индивидуум никогда не совершает действий ради ничего. Любое действие совершается с издержками, которые «ничего» не может покрыть по определению. Поэтому любое действие ради ничего может только минимизировать, а не максимизировать результаты действия.

В голосовании рассматриваются рациональные индивидуумы, которые, как уже говорилось, голосуя, совершают некоторые действия. Поэтому следствием D1 является следующее определение:

Определение 2 (D2). Рациональный избиратель голосует таким образом, чтобы максимизировать ожидаемую полезность результатов выборов для него (Смит (2004)).

Итак, ответом на второй вопрос, «как голосуют?», будет - «индивидуум максимизирует ожидаемую полезность». Но есть ли какой-то предел такой максимизации? В соответствии с С1 индивидуум достигает максимума по реализации всех своих предпочтений.

Тривиальный случай, когда индивидуум достигает своей цели, это случай, когда он определяет коллективный выбор единолично. Используем этот факт для определения «истинных предпочтений».

Определение 3 (D3). Истинные предпочтения индивидуума такие, как если бы он определял коллективный выбор единолично.

Следует отметить, что истинные предпочтения индивидуума и его истинные желания могут не совпадать. Желания индивидуума могут быть любыми, тогда как предпочтения могут быть только из числа разрешенных процедурой голосования. Рассмотрим для примера мажоритарное голосование с тремя кандидатурами a, b и c. В таком голосовании индивидуум может голосовать только за одну из имеющихся кандидатур. При этом избиратель может сообщить только два предпочтения, а именно, какая кандидатура не хуже двух других. Т.е. голосуя, например, за a, он показывает a ≥ b и a ≥ c. А предпочтения между b и c для этого случая процедура голосования не предусматривает. Определение D3 можно рассматривать и как критерий существования истинных предпочтений рационально индивидуума. Если голосуя единолично индивидуум ни при каких условиях не может показать некоторого предпочтения, то его в данном голосовании не существут.

Делая свой выбор, индивидуум руководствуется любой доступной ему информацией, которая может быть использована для максимизации ожидаемой полезности. Правда, одна и та же информация может быть полезна для одного индивидуума и совершенно бесполезна для другого. Определим достоверную информацию как такую, что любой рациональный индивидуум должен принять ее в расчет для максимизации ожидаемой полезности. Применительно к голосованиям дадим следующее определение достоверной информации.

Определение 4 (D4). Достоверная информация (RI) об ожидаемом результате выборов сообщает индивидууму, что он может воздействовать на строгое коллективное предпочтение только уменьшая или увеличивая его, но он не может изменить коллективное предпочтение на безразличие.

Примером RI могут служить результаты официальных опросов общественного мнения, которые дают математически обоснованное распределение с вычисляемой вероятностью исхода. При этом, чем больше индивидуумов участвует в последующем голосовании, тем меньше вероятность, что один голос может иметь какой-либо эффект. Смит (2004) показывает, что в двух-альтернативных выборах с количеством голосующих 10⁶ при ожидаемом перевесе одной из альтернатив 51-49 вероятность, что один голос может иметь эффект, 10^-90.

В выборах с небольшим количеством голосующих RI также может быть существенна. Например, если есть только три индивидуума и известно, что два из них предпочитают альтернативу a альтернативе b, то во многих избирательных системах третий индивидуум не может реализовать b лучше a. То же самое для четырех голосующих, если три из них предпочитают альтернативу a альтернативе b, и т.д.

Но информация о возможном результате выборов может и не быть достоверной, т.е. такой, как определено в D4. Если имеется только два индивидуума, то любой из них может изменить безразличие на строгое предпочтение, или наоборот. Также и в голосования с четным количеством индивидуумов N>2 , если известно, что N/2 голосующих предпочитают альтернативу a альтернативе b, а N/2-1 имеют обратное предпочтение, единственный голос может сменить строгое коллективное предпочтение на безразличие. Тем не менее, достоверная информация о возможном исходе голосования возможна, по крайней мере, для выборов с количеством голосующих больше двух.

В дальнейших рассуждениях нам понадобятся еще несколько условий, накладываемых на голосование. Будем рассматривать голосования с такой процедурой, что безразличие произвольного индивидуума не отражается на исходе голосования.

Условие 2 (С2). Для любой пары профилей p(p₁, …, p_N) и p^*(p₁, …, p_N, p_N+1 ), для любой пары альтернатив a и b исходы голосований одинаковы, т.е. F(a,b) ↔ F^*(a,b), если N+1-ый индивидуум показывает свое безразличие относительно a и b.

Примем также, что индивидуум вправе участвовать или не участвовать в голосовании. Такое право должно быть отражено в процедуре голосования. Если неучастие в голосовании может изменить результат, это непосредственно означает манипулируемость голосования. Чтобы исключить такую возможность примем следующее условие.

Условие 3 (С3). Для любой пары профилей p(p₁, …, p_N) и p^*(p₁, …, p_N, p_N+1 ), для любой пары альтернатив a и b исходы голосований одинаковы, т.е. F(a,b) ↔ F^*(a,b), если N+1-ый индивидуум отказывается от участия в голосовании. Как следствие, неучастие индивидуума в голосовании неотличимо от его безразличия.

Рассмотрим теперь двух-альтернативное голосование с количеством голосующих больше двух.

Лемма 1. Любое двух-альтернативное голосование с количеством голосующих больше двух, удовлетворяющее условиям универсальности, C1, C2, и C3 защищено от стратегий тогда и только тогда, когда отсутствует достоверная информация о возможном исходе выборов.

Доказательство. Пусть имеется две альтернативы a и b , N>2 индивидуумов и истинные предпочтения произвольно взятого индивидуума - a не хуже b. Из универсальности мы можем рассмотреть любой профиль индивидуальных предпочтений. Рассмотрим такой профиль, на котором RI дает b > a. По определению D4 индивидуум не может ни изменить строгое общественное предпочтение на безразличие, ни, тем более, на a лучше b. По условию С1 индивидуум не может реализовать свою цель. По следствию CD1 индивидуум отказывается от участия в голосовании. По условиям C2 и C3 индивидуум показывает свое безразличие, что не является его истинным предпочтением. Не трудно видеть, что и для истинного строгого предпочтения индивидуума, т.е. “a лучше b”, также справедливы приведенные выше рассуждения, и голосование манипулируемо.

Рассмотрим теперь случай, когда RI отсутствует. Здесь возможны четыре действия индивидуума.

1. Индивидуум показывает безразличие. По условию С2 индивидуум не оказывает вляния на коллективный выбор, который определяется другими голосующими.

2. Индивидуум не голосует. По условию С3 этот вариант дает тот же результат, что и в первом случае.

3. Индивидуум голосует “b не хуже a”. По определению D4 в этом случае индивидуум может добиться безразличия, если коллективное предпочтение остальных “a лучше b”. Либо, если коллективное предпочтение остальных “b лучше a”, он может усилить его. Т.е. ожидаемый исход от такого действия b ≥ a.

4. Индивидуум голосует “a не хуже b”. По определению D4 в этом случае индивидуум может добиться безразличия, если коллективное предпочтение остальных “b лучше a”. Либо, если коллективное предпочтение остальных “a лучше b”, он может усилить его. Т.е. ожидаемый исход от такого действия a ≥ b.

Таким образом, третий случай минимизирует ожидаемую полезность по сравнению со случаями 1 и 2, а четвертый случай максимизирует ее по сравнению со всеми случаями. По определению D2 рациональный индивидуум должен выбрать случай 4, что совпадает с его истинным предпочтением. Не трудно видеть, что для истинного предпочтения индивидуума “a лучше b” справедливы приведенные выше рассуждения, и голосование защищено от стратегий.

Разберем теперь голосования с неограниченным количеством альтернатив.

Теорема 2. Любое голосование с количеством альтернатив M ≥ 2 и с количеством голосующих N > 2, удовлетворяющее условиям универсальности, C1, C2, и C3, защищено от стратегий тогда и только тогда, когда отсутствует достоверная информация о возможном исходе выборов.

Доказательство. Если альтернатив две, доказательство по лемме 1. Пусть имеется M ≥ 3 альтернатив a₁, a₂, …, a_M, и истинные предпочтения произвольного индивидуума a₁ не хуже a₂, a₂ не хуже a₃, …, a_M-1 не хуже a_M. Пусть существует достоверная информация о возможном исходе выборов. Из универсальности мы можем взять любой профиль индивидуальных предпочтений. Рассмотрим такой профиль, на котором RI дает a_M лучше a_M-1, a_M-1 лучше a_M-2, …, a₂ лучше a₁. По определению D4 индивидуум не может реализовать ни одно из своих предпочтений. По условию С1 он не имеет цели участвовать в голосовании. По следствию CD1 рациональный индивидуум отказывается от участия в голосования. По условиям С2 и С3 индивидуум показывает свое безразличие относительно всех альтернатив, что не является его истинными предпочтениями, и голосование манипулируемо.

Теперь рассмотрим случай, когда достоверная информация о возможном исходе выборов отсутствует. Рассмотрим возможные варианты действий индивидуума относительно произвольно взятых альтернатив a_k и a_i из множества (a₁, a₂, …, a_M). Для определенности, его истинное предпочтение a_k не хуже a_i. По лемме 1 индивидуум при голосовании выбирает a_k не хуже a_i, что совпадает с его истинным предпочтением. Поскольку альтернативы a_k и a_i взяты произвольно, то рассуждения справедливы для любой пары альтернатив и голосование защищено от стратегий.

Для некоторых правил агрегирования можно доказать стратегическое поведение избирателей на другой основе, чем та, что использована при доказательстве теоремы 2. Некоторые кардиналистские и так называемые позиционные голосования (например, счет Борда) допускают манипулирование, даже если индивидуум и не отказывается от участия в голосовании. В доказательстве используется тот факт, что величины предпочтений относительно разных альтернатив могут отличаться величиной. Так в 3-альтернативном счете Борда предпочтения a>b>c записываются численно a=2, b=1, c=0, что означает, что предпочтение “a лучше c” более весомо, чем “a лучше b” или “b лучше c”.

Доказательство. Пусть в 3-альтернативном кардиналистском или позиционном голосовании RI дает “c лучше b” и “b лучше a”, следовательно, “c лучше a”. Тогда возможны следующие действия индивидуума, истинные предпочтения которого a>b>c⁽³⁾.

1. Индивидуум не голосует. При этом коллективный выбор определяется другими голосующими.

2. Индивидуум голосует в соответствии со своими истинными предпочтениями, т.е. a>b>c. Ожидаемый результат - реализация единственного предпочтения b>c.

3. Индивидуум голосует a>c>b. Ни одно из предпочтений индивидуума не реализуется, и по следствию СD1 он отказывается от голосования.

4. Индивидуум голосует b>a>c. Ожидаемый результат - реализация единственного предпочтения b>c.

5. Индивидуум голосует b>c>a. Ожидаемый результат - реализация единственного предпочтения b>c.

6. Индивидуум голосует c>a>b. Ни одно из предпочтений индивидуума не реализуется, и по следствию СD1 он отказывается от голосования.

7. Индивидуум голосует c>b>a. Ни одно из предпочтений индивидуума не реализуется, и по следствию СD1 он отказывается от голосования.

Если индивидуум отказывается от участия в голосовании, оно манипулируемо по теореме 2. Если индивидуум голосует в надежде реализовать свое предпочтение b > c, тогда по определению D2 он должен выбрать вариант, дающий максимальную полезность. Поэтому индивидуум должен выбрать вариант 4, так как в этом случае значение предпочтения b > c максимально. Но тогда он голосует b > a, что не является его истинным предпочтением, и голосование манипулируемо.

В лемме 1 и теореме 2 описаны, казалось бы, только ординалистские голосования. Покажем, тем не менее, что кардиналистские голосования также подпадают под действие этих теорем.

Любое голосование, в том числе и кардиналистское, переобозначением альтернатив может быть представлено ординалистским правилом выбора. Пусть имеется множество исходных альтернатив А и множество возможных профилей предпочтений Р на А. Голосуя индивидуум выбирает из множества Р один единственный профиль, который для него предпочтительнее всех остальных. Т.е. относительно всех возможных профилей у индивидуума существуют свои предпочтения, а сами профили могут рассматриваться как альтернативы. Рассмотрим, например, голосование вида «evaluative voting» со шкалой [-1, 0, +1] при выборах двух кандидатур a и b. В данном случае будет девять возможных профилей и, соответственно, девять альтернатив. Три альтернативы безразличия, т.е. a = b = -1, a = b = 0, a = b = +1. Три альтернативы строгого предпочтения a > b, т.е. a = +1 и b = 0, a = +1 и b = -1, a = 0 и b = -1. И три альтернативы строгого предпочтения b > a, т.е. b = +1 и a = 0, b = +1 и a = -1, b = 0 и a = -1. Относительно этих альтернатив индивидуум определяет свои предпочтения обычным ординалистским образом. И относительно этих альтернатив справедливы доказательства леммы 1 и теоремы 2.

При таком подходе кардиналистское голосование отличается от ординалистского главным образом количеством альтернатив для одного и того же набора кандидатур. С увеличением дискретности шкалы индивидуальных оценок количество возможных альтернатив растет и для голосования с непрерывной шкалой, как «range voting», становится бесконечным.

Существует однако и прямое доказательство защищенности от стратегий кардиналистского голосования с использованием Определения D3.

Теорема 3. Кардиналистское голосование вида «range voting» с непрерывной шкалой индивидуальных оценок с конечными верхним и нижним пределами, с количеством альтернатив M ≥ 2, с количеством голосующих индивидуумов N ≥ 3, удовлетворяющее условиям универсальности, С1, C2, и C3, защищено от стратегий, если отсутствует любая информация о возможном исходе выборов.

Доказательство. Пусть имеется M ≥ 3 альтернатив a₁, a₂,…, a_m,…, a_M и истинное ранжирование произвольного индивидуума k - c_k(a₁), c_k(a₂), …, c_k(a_m), …, c_k(a_M). Социальный рейтинг альтернативы a_m в таком голосовании определяется суммой всех индивидуальных рейтингов c(a_m) = ∑c_n(a_m), где суммирование ведется по n от 1 до N. Последнюю сумму, в свою очередь, можно представить в виде слагаемых
c(a_m) = ∑c_n(a_m) + c_k(a_m),       (1)
где суммирование ведется по n от 1 до N, при n ≠ k.

Так как отсутствует любая информация о возможном исходе выборов, то слагаемое с суммой в уравнении 1 неизвестно индивидууму k. Его значение равновероятно может быть в пределах от максимально возможного до минимально возможного. Т.е. это слагаемое является случайной величиной с однородным распределением вероятности во всем возможном диапазоне. Математическое ожидание случайной величины с таким распределением в точности равно средней точке диапазона коллективных оценок. Поскольку a_m взята произвольно, те же самые рассуждения справедливы для любой другой альтернативы. Тогда математические ожидания для всех альтернатив в точности равны друг другу. Поскольку предпочтения в кардиналистском голосовании определяются разницей оценок, выставленных альтернативам, то все ожидаемые коллективные предпочтения соответствуют безразличию, или, что то же самое, по условиям С2 и С3, ожидаемая ситуация для индивидуума k, такая, как если бы все остальные индивидуумы отказались от участия в голосовании. Т.е. его выбор такой, как если бы он голосовал единолично. В этом случае, по определению D3, индивидуум показывает истинные предпочтения. Так как рассматривался произвольный индивидуум, рассуждения справедливы для любого индивидуума, и голосование защищено от манипулирования.

В своей работе Эрроу (1963) задается условием, что индивидуальные оценки представляют собой известные данные, которые не могут изменяться в ходе процесса принятия коллективного решения. Мы считаем, что манипулируемость есть прямое следствие нарушения этого условия. Например, опрос общественного мнения есть, по сути, предварительное голосование. Т.е. процесс принятия коллективного решения включает разнесенные по времени опрос и само голосование. Если до опроса предпочтения избирателей были одни, то после опроса они меняются, что приводит к нарушению приведенного выше условия Эрроу, и к манипулируемости голосования.

К подобному выводу приходит Кранор (1996): «Когда избиратели не располагают информацией о предпочтениях других, они не могут манипулировать».

Примечания

1. Здесь употребляются следующие формальные обозначения предпочтений: строгое предпочтение, т.е. a лучше b, записывается в виде a > b, не строгое предпочтение, т.е. a не хуже b, записывается в виде a ≥ b.
2. Хотя при судействе спортсмены получают итоговые численные оценки, само итоговое ранжирование может быть ординалистским упорядочением. Поэтому, в отличие от индивидуальных предпочтений, коллективные предпочтения не требуют кардиналистского описания.
3. Мы не рассматриваем здесь безразличие, но нетрудно видеть, что учет безразличия увеличивает количество вариантов, не влияя на конечный результат.

Литература

Albert, Michael and Hahnel, Robin. A Quiet Revolution in Welfare Economics. Princeton University Press, 1991. The book can be download at http://www.zmag.org/books/quiet.htm
Arrow, Kenneth J. Social Choice and Individual Values. New York: Wiley, 1951.
----- Social Choice and Individual Values, 2nd Ed. New York: Wiley, 1963.
Brams, Steven J. and Fishburn, Peter C. Approval Voting. Boston: Birkhauser, 1983.
Condorset, Marquis de. Essai sur l’application de l’analyse á la probabilité des décisions rendues á la pluralité des voix. Paris: L’Imprimerie Royale, 1785.
Cranor, Lorrie F. Declared-Strategy Voting: An Instrument for Group Decision-Making. PhD thesis. December, 1996 Saint Louis, Missouri. The article can be download at http://users.erols.com/aejohns/node4.htm
Gibbard, Allan F. Manipulation of Voting Schemes: A General Result. Econometrica, July 1973, 41(4), pp. 587-601.
Hillinger, Claude. Voting and the Cardinal Aggregation of Judgments. Discussion paper 2004-09, Department of Economics, University of Munich. The article can be download at http://epub.ub.uni-muenchen.de
Niemi, R. The Problem of Strategic Behavior under Approval Voting. 1984, American Political Science Review, 78, pp. 952-958.
Saari, D. G. Sucseptibility to Manipulation. Public Choice. 1990, 64, pp. 21-41.
Satterthwaite, Mark A. Strategy-Proofness and Arrow’s Conditions: Existence and Correspondence Theorem for Voting Procedures and Social Welfare Functions. Journal of Economic Theory, April 1975, 10(2), pp. 187-217.
Sen, Amartya. The Possibility of Social Choice. American Economic Theory. 1999, 89, N3, pp. 349-378.
Smith, Warren D. Range Voting. December 2004. The article can be download at http://math.temple.edu/~wds/homepage/rangevote.pdf
Swart, Harrie de, et al. Categoric and Ordinal Voting: An Overview. The paper is an extended version of the original Dutch booklet ‘Verkiezingen’, published in 2000 by Epsilon Uitgaven, Utrecht, The Netherlands. The article can be download at http://www.comp.nus.edu.sg/~apt/pdf/swart.pdf
Tabarrok, Alexander. President Perot or fundamentals of voting theory illustrated with the 1992 election. Public Choice. 2001, 106, pp. 275-297.